Giả sử R là ký hiệu của trường các số thực. Với mỗi số nguyên không âm n, không gian của các bộ n số thực tạo thành một không gian vectơ n chiều trên R, ký hiệu là Rn và thường được gọi là không gian các tọa độ thực. Một phần tử của Rn được viết là

x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}

trong đó mỗi xi là một số thực. Các phép toán của không gian vectơ trên Rn được định nghĩa bởi

x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , … , x n + y n ) , {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),} a x = ( a x 1 , a x 2 , … , a x n ) . {\displaystyle a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n}).}

Không gian vectơ Rn có một cơ sở chính tắc:

e 1 = ( 1 , 0 , … , 0 ) , {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0),} e 2 = ( 0 , 1 , … , 0 ) , {\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0),} ⋮ {\displaystyle \vdots } e n = ( 0 , 0 , … , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1).}

Một vectơ trong Rn có thể được viết dưới dạng

x = ∑ i = 1 n x i e i . {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}

Rn là một ví dụ điển hình của không gian vectơ thực n-chiều; mọi không giạn vectơ thực n-chiều V là đẳng cấu với Rn.